Transformações Lineares

Dilatações e Contrações

Passo a Passo da Dilatação e Contração

A dilatação e contração é aplicada de maneira uniforme e funciona da seguinte forma:

A seguinte aplicação de2 em ℜ 2 é uma transformação linear:

T : ℜ 2 → ℜ 2
v → T(v) = αv

Essa transformação é uma Expansão (ou contração), dependendo do valor de α. Esta transformação leva cada vetor v do ℜ2 num vetor de mesma direção de v, mas com sentido igual a v (caso α > 0 ) ou sentido oposto (caso α < 0 ) e módulo maior (caso |α| > 1 ) ou menor (caso |α| < 1 ). Quando α = 1 esta é a transformação identidade.

O processamento que ocorre com a imagem ocontece da seguinte forma. Por exemplo, para α = 2 e v = (x, y) 2, temos: T(x,y) = 2(x,y)

Escrevendo na forma de vetores-coluna temos:

Dilatacao

Figura 3.1: A transformação linear T leva todo elemento (x,y) 2 no elemento 2(x,y).

Quando esta tranformação é aplicada na imagem, ela é aplicada no conjunto de pontos do 2 assim cada pixel vai sofrer a transformação. Neste exemplo ela irá expandir a imagem no dobro de seu tamanho.

Dilatacao imagem

Figura 3.2: A transformação T leva uma figura no plano na mesma figura ampliada com o dobro do tamanho.

Observamos que:

se |α| > 1, T dilata a imagem;
se |α| < 1, T contrai a imagem;
se α = 1, T é a identidade I;
se α < 0, T troca o sentido dos vetores da imagem.

Aplicações na imagem